Физика и астрономия луны Под редакцией 3. Копала
i=0 j=0
где Pi — полиномы и присоединенные функции Лежандра, которые могут быть получены из рекуррентного соотношения
(I +1) Pt+i = (2i +1) [цР] + / (1 -ц.2)1/* Р\-1 ] + iP\-1 (45)
и Р\ = 1, Р\ = ц..
С другой стороны, в уравнении (44) коэффициенты Jti и J\j являются неизвестными, которые в принципе можно вычислить
134 С. Л. ГУДАС
из выражений
2Л + 1
Jto = -^Ji j j h (к, В) P\ dp dk, (46)
0 -1
/io = 0, (47)
2я+1
^ = ^7$! J^frP)^c»sA#^ (]Ф0), (48)
о -1
2я + 1
J'» = "Т"7+Т J J h P) ^ sin A ^ d* (' ^ °>" <49>
о -i
Очевидно, что для вычисления коэффициентов Jtj и Jlj необходимо знать или функцию h (к, 6), или координаты ряда точек, равномерно распределенных по сфере.
Применив способ наименьших квадратов к выражению (44), мы определили эти коэффициенты с помощью двух независимых рядов наблюдений: во-первых, по точкам Шрутки-Рехтенштамма с дополнением точек Хайна, Ваттса, Брукса и Дэвидсона в предположении о симметрии; во-вторых, по точкам Болдуина и, в-третьих, по данным AMS, дополненным точками Хайна, Ваттса, Брукса и Дэвидсона.
Как уже упоминалось, мы приняли п = 8, хотя это сильно превышает значение п, допускаемое точностью и числом имеющихся точек.
Если кк, ВА, hk — координаты известной точки на поверхности Луны, то система нормальных уравнений имеет вид
N п i
2 S II ^ sin (Jij cos ^~J'ij sin p'1 =
h=l i=0 j=0
M
= 2 hhPl™ltkh, s = 0, 1, n, t = 0,l,...,s, (50)
ft=i
где N — общее число точек. Предположим, что к-я точка определена с ошибкой 6hh. Эта ошибка перейдет в коэффициенты уравнения (44) в виде б/;у и 6Jlj. Последние можно вычислить, решив систему уравнений, подобных (50), которая в этом случае имеет вид
М п г
2 2 2^' tXh (б/г'cos А"+б/ь-sin А")р^ =
ft=l i=0 .7=0
м
2 pl™l thi&hk, * = 0, 1.....re, * = 0, 1, (51)
ft=l
ГЛ. 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЛУНЫ 135
Системы уравнений (50) и (51) содержат (п + 1) (п + 2) уравнений каждая, но (п + 1) из них нужно отбросить, поскольку при t = 0 (a t принимает это значение п + 1 раз) обе части уравнения умножаются на нуль. Таким образом, мы имеем только (rc-f-1)2 уравнений. Программа вычислений составлена таким образом, что параметр п задается исследователем.